Abstrakcyjne Sformułowanie Teorii Kwantów--Birula--p20, MK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Abstrakcyjne sformułowanie teorii kwantów.Opisana w tej książce mechanika falowa jest jedną z realizacji ogólnej abs-trakcyjnej teorii kwantów (mechaniki kwantowej). Mechanika falowa opartana ideach de Broglie’a i Schrödingera rozwijana była początkowo niezależ-nie od mechaniki macierzowej Borna, Heisenberga i Jordana, ale rozróż-nienie między tymi sformułowaniami stało się niepotrzebne po wykazaniu(Schrödinger 1926d) ich równoważności. Okazało się wówczas, że oba te sfor-mułowania są różnymi realizacjami tej samej ogólnej, teorii kwantów. Wtym rozdziale wprowadzimy takie ogólne sformułowanie teorii kwantów opie-rając je na sześciu postulatach. Pokażemy, jak otrzymać mechanikę falowąjako szczególną realizację takiej ogólnej teorii i podamy także inną ważnąrealizację — kwantową teorię pola elektromagnetycznego.Formułowanie postulatów teorii kwantów rozpoczniemy od ustalenia ma-tematycznego języka, w którym najwygodniej opisać tę teorię. Od czasuukazania się w latach 1927-1929 cyklu pionierskich prac von Neumanna (pod-sumowaniem tych prac była wydana w 1932 monografia przetłumaczona wroku 1955 na angielski jako Mathematical Foundations of Quantum Mecha-nics) wiadomo, że językiem tym jest teoria przestrzeni Hilberta i operatorówliniowych działających w tej przestrzeni. Na szczęście nie jest potrzebnagłęboka znajomość matematycznych podstaw tej teorii do zrozumienia naj-ważniejszych własności teorii kwantowej. W zupełności wystarczy nam zna-jomość tej teorii “na poziomie algebraicznym”, to znaczy bez uwzględnianiatrudnych problemów wynikających z faktu, iż przestrzeń Hilberta jest nie-skończenie wymiarowa. Wszystkie postulaty będzie można w pełni zrozu-mieć wyobrażając sobie przestrzeń Hilberta teorii kwantów jako skończeniewymiarową przestrzeń wektorową nad ciałem liczb zespolonych z hermitow-skim iloczynem skalarnym i z normą wyznaczoną przez ten iloczyn skalarny.Niestety przy omawianiu konkretnych realizacji teorii kwantów nie udaje sięna ogół całkowicie uniknąć problemów wynikających z faktu, iż przestrzeńfunkcji falowych jest nieskończenie wymiarowa.PODSTAWOWE POJĘCIA MATEMATYCZNEPodstawową rolę w sformułowaniu kwantowej teorii odgrywają operatoryliniowe działające w przestrzeni Hilberta. Zgodnie z zapowiedzią nie bę-dziemy zwracali uwagi na to, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeniHilberta pojęcie operatora jest nieodłącznie związane z pojęciem dziedzinytego operatora. Z faktu, iż w ogólności operatory nie są określone na całej1przestrzeni Hilberta, a tylko na pewnym jej podzbiorze, wynikają poważnekomplikacje natury matematycznej, które nie występują wN- wymiarowejprzestrzeni, kiedy zbiór operatorów liniowych jest równoważny zbiorowi ma-cierzyN×N.Przyporządkowania wektorom układuNliczb zespolonych, zaś operato-rom liniowym macierzy układówN×Nliczb zespolonych najłatwiej jestdokonać posługując się pojęciem bazy. W przestrzeni Hilberta posługujemysię zazwyczaj bazą ortonormalną. Baza ortonormalna jest to każdy maksy-malny zbiór wektorów|ψispełniających warunki ortonormalnościψi|ψj=δij.(1)Będziemy używali tu notacji wprowadzonej przez Diraca (ostre nawiasy) naoznaczenie wektorów i iloczynu skalarnego. Przy pomocy wektorów bazymożemy zamienić każdy wektor|ψna ciąg liczb zespolonychci— współ-rzędnych wektora|ψw bazie|ψi,∞ci=ψi|ψ,zaś każdy operatorAna macierz,|ψ=i=1ci|ψi,(2)∞aij=ψi|Aψj,ψi|Aψ=j=1aijci,(3)Każdemu operatorowiAodpowiada operator do niego sprzężonyA†zdefi-niowany (pomijając wszelkie problemy związane z określeniem dziedzin ope-ratorów) przez równaniaψ|A†φ=φ|Aψ∗.(4)Podstawiając do tego wzoru w miejsce dowolnych wektorów|ψi|φwektorybazy otrzymamy znaną z algebry zależność między macierzą i macierzą doniej sprzężonąa†=a∗.ijji(5)W teorii kwantów wyróżnioną rolę odgrywają operatory samosprzężone,operatory unitarne i operatory rzutu ortogonalnego (rzutowe),Samosprzezone :A†=A,ι˙Unitarne :U†U= 1,U U†= 1,Rzutowe :P2=P, P†=P.2(6)(7)(8)Każdemu operatorowi samosprzężonemu można przypisać rodzinę spektralnąoperatorów rzutowych, która odgrywa ważną rolę w teorii kwantów. Rodzinaspektralna operatora samosprzężonego jest to rodzina operatorów rzutowychP(λ),−∞< λ <∞spełniająca następujące warunki:limP(λ + ) =P(λ),P(−∞) =0,→0P(∞) =1,(9)(10)P(λ1)P (λ2) =P(λ2)P (λ1) =P(min(λ1, λ2)),gdziei1oznaczają operator zerowy i operator jednostkowy. Z powyższychwzorów widać, że gdy parametrλprzebiega cały swój zbiór wartości, opera-tory rzutowe rodziny spektralnej “wypełniają” stopniowo całą przestrzeń.W najprostszym przypadku, gdy przestrzeń jestN-wymiarowa, rodzinaspektralna składa się zawsze zN+ 1elementów “nanizanych” na oś rze-czywistą przebieganą przez parametrλ.Są to: operator zerowy, operatorrzutowania na jednowymiarową podprzestrzeń, operator rzutowania na dwu-wymiarową podprzestrzeń zawierającą ową podprzestrzeń jednowymiarową,itd. aż do wyczerpania wszystkich wymiarów. W tym przypadku warto-ści parametruλ,dla których następuje skokowo powiększenie wymiaru pod-przestrzeni są dowolne. W zależności od wyboru kolejnych podprzestrzeni,otrzymujemy różne rodziny spektralne. W przestrzeni skończenie wymiaro-wej konstrukcję tę można ujednoznacznić wybierając macierz hermitowskąo niezwyrodniałym widmie. Wiadomo z algebry liniowej, że macierz takama zbiór ortogonalnych wektorów własnych tworzących bazę. Dla widma zezwyrodnieniem będą to ortogonalne podprzestrzenie własne. Rodzina spek-tralna stowarzyszona z hermitowską macierzą jest zbudowana następująco.Od−∞do najmniejszej wartości własnej operatoryP(λ)są równe opera-torowi zerowemu. Dla wartościλrównej najmniejszej wartości własnejλ1funkcjaP(λ)dokonuje skoku przyjmując wartość równą operatorowi rzuto-waniaP1na kierunek własny odpowiadający tej najmniejszej wartości wła-snej.P(λ)doznaje kolejnego skoku, gdyλosiągnie wartość równą drugiej codo wielkości wartości własnejλ2. W tym punkcie do operatora rzutowaniaP1dodajemy operator rzutowaniaP2, który w sumie zP1tworzy operatorrzutowania na podprzestrzeń rozpiętą na dwóch pierwszych wektorach wła-snychP12=P1+P2. Procedurę dodawania operatora rzutowania na kolejnykierunek własny powtarzamy aż do wyczerpania wszystkich wektorów wła-snych. Otrzymujemy w ten sposób operatory rzutowania na podprzestrzenierozpięte na rosnącej liczbie wektorów własnych aż do otrzymania na końcuoperatora jednostkowego rzutującego na całą przestrzeń. Rodzina spektralnaodpowiadająca macierzy hermitowskiej jest zatem funkcją zmieniającą sięskokowo, dla wartościλ1, λ2, . . . , λN. Skoki funkcjiP(λ)w tych punktachsą równe operatorom rzutowymPirzutującym na podprzestrzenie własne.3Między tymi wartościami funkcjaP(λ)jest stała. Podsumowując te rozwa-żania stwierdzamy, że w przestrzeni skończenie wymiarowej z każdą macierząhermitowską związana jest dokładnie jedna rodzina spektralna wyznaczonaprzez operatory rzutowania na podprzestrzenie własne tej macierzy. MacierzhermitowskąMmożna wyrazić przez operatoryPirzutowania na podprze-strzenie własne odpowiadające wartościom własnymλiza pomocą wzoruM=iλiPi.(11)Wykorzystując pojęcie całki Riemanna-Stieltjesa sumę tę można wyrazićprzez rodzinę spektralną. Przypomnijmy, że całka ta będąca naturalnymuogólnieniem całki Riemanna zdefiniowana jest jako następująca granicaf(x)dg(x) =|xi−xi+1|→0limf(xk)(g(xk)−g(kk−1).i(12)W całce tej zamiast przyrostu zmiennejxwystępuje przyrost funkcjig(x).Wprzypadku funkcjig(x)odcinkami stałej całka ta daje właśnie sumę skokówtej funkcji pomnożonych przez wartości funkcjif(x)w punktach tych skoków.Dla macierzyMotrzymujemy więcM=λ dP(λ),(13)który jest równoważny wzorowi (11). Wzór taki obowiązuje w ogólnym przy-padku, a nie tylko w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta.Między operatorami samosprzężonymi i rodzinami spektralnymi istniejezawsze jednojednoznaczny związek, ale znalezienie rodziny spektralnej dladanego operatora jest na ogół trudnym problemem matematycznym; nie maogólnego przepisu na znajdowanie takich rodzin. Dużo łatwiej jest podaćprzyporządkowanie odwrotne. Jeżeli dana jest pewna rodzina spektralnaˆPA(λ)to można dla niej skonstruować operator samosprzężonyAzdefinio-wany wzoremˆA=λ dPA(λ).(14)Jeżeli rodzina spektralna jest różniczkowalną funkcją parametruλ(widmociągłe), to wzór powyższy można przedstawić w postaci całki poλdPA(λ).(15)dλPrzy użyciu rodziny spektralnej można również wyrazić dowolną funkcję ope-ˆratoraAˆA=dλ λˆf(A)=f(λ)dPA(λ).4(16)Stosowanie powyższych spektralnych przedstawień operatorów napotyka jed-nak na trudności, gdyż w zagadnieniach fizycznych potrafimy najczęściejodgadnąć postać operatora a nie rodzinę spektralną, którą trzeba dopieroskonstruować. Konstrukcję tę można przeprowadzić tylko w niektórych przy-padkach.Z własności rodziny spektralnejPA(λ)możemy odczytać charakter widmaˆoperatoraA.W najprostszym przypadku przestrzeni skończenie wymiarowejwidmo to składało się tylko z wartości własnych; było to czyste widmo punk-towe. W ogólnym przypadku, gdyPA(λ)nie jest funkcją odcinkami stałą,wystąpi także widmo ciągłe. Występowanie widma ciągłego nie jest przy-padkiem anomalnym. Mamy z nim do czynienia na każdym kroku w teoriikwantów, ale analiza matematyczna takiego widma jest złożona, ponieważw przestrzeni Hilberta nie ma wektorów własnych należących do wartościwłasnych z widma ciągłego.Rodzinę spektralną operatorów rzutowych można także przypisać każ-demu operatorowi unitarnemu. Jedyna różnica polega na tym, że rodzinata określona jest nie na osi rzeczywistej ale na jednostkowym okręgu (para-metryzowanym kątem,< λ≤2π),ponieważ widmo operatora unitarnegoskłada się z liczb o module 1.POSTULATY TEORII KWANTÓWDwoma podstawowymi pojęciami fizycznymi, na których będziemy opie-rać całą strukturę teorii kwantowej w ogólnym, abstrakcyjnym sformułowa-niu są pojęcia: pytania elementarnego dotyczącego układu kwantowego orazstanu układu kwantowego. Pytanie elementarne to takie pytanie, na któreodpowiedź może brzmieć tylko “TAK” lub “NIE”. Na podstawie znajomo-ści odpowiedzi na pytania elementarne określamy stan układu, podobnie jakna podstawie serii odpowiedzi w grze w 20 pytań odgadujemy wymyślonesłowo. Wprowadzimy kilka postulatów, które określą rolę pytań elementar-nych w badaniu własności stanów układu i wielkości fizycznych. Postulaty tenie stanowią podstaw do aksjomatyzacji teorii kwantów. Mają one jedynieułatwić uporządkowanie wiedzy na temat teorii kwantowej. Tym tłumaczysię dość duża dowolność w ich doborze. Podany poniżej zestaw pochodzi odautorów.5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]